皮卡存在唯一定理
发布时间: 2025-10-02 08:36:54
⑴ 什么是皮卡逐步逼近法
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。 为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ，显然 也是连续函数， 如果,那末就是积分方程的解。否则,我们又把代入积分方程右端的，得到
，如果，那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 (3.1.1.4)
这样就得到连续函数序列：，，…，，…如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即 存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到
即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
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