皮卡一維和二維的區別

❶ 代數幾何簡介及詳細資料

正文

現代數學的一個重要分支學科。它的基本研究對象是在任意維數的（仿射或射影）空間中，由若干個代數方程的公共零點所構成的集合的幾何特性。這樣的集合通常叫做代數簇，而這些方程叫做這個代數簇的定義方程組。一個代數簇V的定義方程中的系數以及V中點的坐標通常是在一個固定的域k中選取的，這個域就叫做V的基域。當V為不可約時（即如果V不能分解為兩個比它小的代數簇的並）,V上所有以代數式定義的函式全體也構成一個域，叫做V的有理函式域，它是k的一個有限生成擴域。通過這樣的一個對應關系，代數幾何也可以看成是用幾何的語言和觀點進行的有限生成擴域的研究。

代數簇V關於基域 k的維數可以定義為V的有理函式域在k上的超越次數。一維的代數簇叫做代數曲線,二維的代數簇叫做代數曲面。

代數簇的最簡單的例子是平面中的代數曲線。例如，著名的費馬猜想（又稱費馬大定理）就可以歸結為下面的問題：在平面中，由方程

定義的曲線（稱為費馬曲線）當n≥3時沒有坐標都是非零有理數的點。

另一方面，下面的齊次方程組

在復數域上的射影空間中定義了一條曲線。這是一條橢圓曲線。

人們對代數簇的研究通常分為局部和整體兩個方面。局部方面的研究主要是用交換代數方法討論代數簇中的奇異點以及代數簇在奇異點周圍的性質。

作為奇異點的例子,可以考察由方程xy所定義的平面曲線中的原點(0,0)。這是一個歧點。

不帶奇異點的代數簇稱為非奇異代數簇。數學家広中平祐在1964年證明了基域k的特徵為0時的奇點解消定理：任意代數簇都是某個非奇異代數簇在雙有理映射下的像。

一個代數簇V1到另一個代數簇V2的映射稱為雙有理映射，如果它誘導有理函式域之間的同構。兩個代數簇V1，V2稱為雙有理等價的，如果在V1中有一個稠密開集同構於V2的一個稠密開集。這個條件等價於V1和V2的有理函式域同構。由於這個等價關系，代數簇的分類常常可以歸結為對代數簇的雙有理等價類的分類。

當前代數幾何研究的重點是整體問題，主要是代數簇的分類以及給定的代數簇中的子簇的性質。同調代數的方法在這類研究中起著關鍵的作用。

代數幾何中的分類理論是這樣建立的：對每個有關的分類對象（這樣的分類對象可以是某一類代數簇，例如非奇異射影代數曲線，也可以是有關的代數簇的雙有理等價類），人們可以找到一組對應的整數，稱為它的數值不變數。例如在射影代數簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變數。然後試圖在所有具有相同的數值不變數的分類對象組成的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的分類對象也在相應的代數結構中變化。目前建立有較完整的分類理論的只有代數曲線、代數曲面的一部分，以及少數特殊的高維代數簇。厰在研究得最深入的是代數曲線和阿貝爾簇的分類。

與子簇問題密切相關的有著名的霍奇猜想:設X是復數域上的一個非奇異射影代數簇，p為小於X的維數的一個正整數。則X上任一型為(p,p)的整上同調類中都有代數代表元。

1935年4月26日著名科學家愛因斯坦在追悼諾特的大會上說：「據現代權威數學家們判斷，諾特女士是自從婦女開始受到高等教育以來最重要的、富於創造性的數學天才。在最有天賦的數學家們為之忙碌了多少世紀的代數領域里。她發現了一套方法，當前一代年輕數學家的成長已證明了它的巨大意義，依據這套方法，純粹數學成了一首邏輯概念的詩篇。

諾特（EmmyNoether，1882－1935），1882年3月23日生於德國大學城——愛爾蘭根的一個猶太人家庭，父親馬克思·諾特（MaxNoether，1844－1921）是一位頗有名氣的數學家，他從1875年起到1921年逝世前，一直在愛爾蘭根大學當教授。

弟弟弗黎獲·諾特（FritzNoether，1884～）也是一位數學家，先在德國布雷斯勞工學院當教授，1935年受納粹迫害逃往蘇聯，在西伯利亞托姆斯克數學力學研究所當教授，沒多久被關進監獄，從此杳無音信。

諾特12歲時在愛爾蘭根市高級女子學校讀中學，她對那些專門為女孩子開設的宗教、鋼琴、舞蹈等課程毫無興趣，只對語言學習還感興趣。中學畢業後，1900年4月她順利地通過了法語和英語教師資格考試，原本准備去當教師，同年秋天她改變了主意，她決意要到父親任教的愛爾蘭根大學去學數學。

但是，當時德國不準女子在大學注冊，只能當旁聽生，並繳納聽課費，在極其罕見的情況下，才可能徵得主講教授的同意，參加考試而取得文憑。諾特總算幸運地於l903年7月通過了考試。當年冬天，她來到哥廷根大學，直接聽到希爾伯特、克萊因、閔科夫斯基等著名數學家講課，受到極大的鼓舞。1904年德國大學改制，允許女生注冊，當年10月她便正式回到愛爾蘭根注冊學習，到1907年底，她通過了博士考試，其博士論文題目是「三元雙二次型的不變數完全系」，導師是戈丹（PaulAlbertGordan，1837～1912）。

戈丹是諾特父親的同事、至友，對諾特早年生活影響很大，諾特的這篇博士論文完全承襲了戈丹的工作特色，充滿了戈丹式的公式，通篇都是符號演算。後來，盡管諾特離開了戈丹的研究方向，但她對導師一直懷著深深的敬意，在她的書房裡一直掛著戈丹的畫像。1912年戈丹去世了，接替他的先是施密特，後是費歇爾。在費歇爾指導下，諾特逐步實現了從戈丹的形式觀念到希爾伯特研究方式的轉變，從這種意義上講，費歇爾對諾特的學術發展的影響，可能比戈丹更深入。

1915年，哥廷根大學的克萊因、希爾伯特邀請諾特去哥廷根。他們當時熱衷於相對論研究，而諾特在不變式理論方面的實力對他們的研究會有幫助。1916年，諾特離開愛爾蘭根，定居哥廷根。希爾伯特很想幫她在哥廷根大學取得授課資格，但是當時哥廷根大學哲學系中的語言學教授、歷史學教授卻極力反對，其理由就因諾特是女人。希爾伯特在校務會議上不無氣憤地說：「先生們，我不明白為什麼候選人的性別是阻礙她取得講師資格的理由，我們這里畢竟是大學而不是浴池。」也許正因為這番話，更激怒了他的對手們，諾特仍然沒有獲准通過。

然而，她還是在哥廷根的講台上向學生講了課，不過是在希爾伯特的名義之下。第一次世界大戰結束後，德意志共和國成立了，情況才發生變化。1919年諾特才當上了講師，1922年至1933年，她取得「編外副教授」職位，這是沒工資的頭銜，只因她擔當了代數課的講授，才從學生所繳學費中支付給她一小筆薪金。在這種艱難的情況下，諾特在希爾伯特、克萊因的相對論研究的思想影響下，於1918年發表了兩篇重要論文，一篇是把黎曼幾何和廣義相對論中常用的微分不變式問題化為代數不變式問題，一篇是把物理學中守恆律同不變性聯系起來，被稱為「諾特定理」。

1920年以後，諾特開始走上自己獨立創建「抽象代數學」的道路。她從不同領域的相似現象出發，把不同的對象加以抽象化、公理化，然後用統一的方法加以處理，得出一般性的理論，用她的這種理論又能處理各個不同領域的特殊性的問題。諾特的這套理論也就是現代數學中的「環」和「理想」的系統理論，完成於1926年。一般認為抽象代數形式的時間就是1926年，從此代數學研究對象從研究代數方程根的計算與分布，進入到研究數字、文字和更一般元素的代數運算規律和各種代數結構，完成了古典代數到抽象代數的本質的轉變。諾特當之無愧地被人們譽為抽象代數的奠基人之一。諾特的學術論文只有40多篇，她對抽象代數學發展所產生的巨大影響，並不完全出自她的論文，更重要的還是出自她與同事、學生的接觸、交往、合作與講課。她的講課技巧並不高明，既匆忙又不連貫。但是，她常詳細敘述自己尚末最終定型的新想法，其中充滿了深刻的哲理，也充滿了不同凡響的創造 *** 。她很喜愛自己的學生，在她身邊形成了一個熙熙攘攘的「家庭」，這些學生被稱為「諾特的孩子們」。其中有十幾位學生後來成為著名數學家。1928年在義大利波隆那舉行的國際數學家大會上，諾特應邀作了一個3O分鍾的分組報告。1932年在蘇黎世舉行的國際數學家大會上，諾特作了一小時的全會報告。她的報告得到許多數學家的贊揚，贏得了極高的國際聲譽。一些年邁的數學家親眼得見他們用舊式計算方法不能解決的問題，被諾特用抽象代數方法漂亮而簡捷地解決了，不得不心悅誠服。同年，由於她在代數學方面的卓越成就，諾特和阿廷共同獲得了「阿克曼·特布納獎」。可，大會之後僅幾個星期厄運降臨了。1933年1月，希特勒上台後瘋狂地迫害猶太人，當年4月26日，地方報紙刊登了一項通告，哥廷根大學6位猶太人教授被勒令離開大學，其中之一就是諾特。霎時間，諾特在哥廷根大學的報酬極低的職務被剝奪了，她幾乎走投無路了。起初，她曾想去前蘇聯。因為在1928年至1929年的冬天，她訪問過莫斯科大學，在那裡講授抽象代數，並指導一個代數幾何討論班，對前蘇聯數學和數學家都產生了良好的影響，與前蘇聯著名數學家亞歷山得羅夫等也給下了友誼。亞歷山得羅夫當即表示歡迎諾特來莫斯科大學任教，由於種種原因，未能成功。後來，經著名數學家韋爾介紹和幫助，1933年9月，諾特才得以移居美國，在美國布林馬爾女子學院任教，並在普林斯頓高等研究院 *** 。

在美國期間，諾特每周去普林斯頓講課，當時聽她講課的奎因教授回憶說，諾特身材不高，體態略胖，膚色黝黑，剪得短短的黑發還夾著幾縷灰絲。她戴著一副厚厚的近視眼鏡，用不甚連貫的英語講課。她喜歡散步，常與學生外出遠足，途中往往全神貫注地談論數學，不顧來往的行人與車輛，以致學生們不得不保護她的安全。在諾特一生中，或許從來沒有像在布林馬爾學院和普林斯頓高等研究院，受到如此尊敬、同情和友情。但是，她依然懷念著祖國，懷念著哥廷根。1934年夏天，她曾回到哥廷根，看到哈塞仍然努力重建哥廷根光榮而悠久的數學傳統，感到由衷的欣慰。

1935年春，當諾特返回美國後，經醫生檢查發現，她已被癌症纏身，腫瘤急劇地損傷著她的身體，只有手術才可能挽救她的生命。手術後病情一度好轉，大家都期待她康復。不料得了手術並發症。

4月14日這位終生未婚，把全部精力獻給了她所熱愛的數學事業的偉大女數學家，辭然與世長辭，終年53歲。4月26日布林馬爾學院為諾特舉行了追悼會，愛因斯坦為她寫了訃文，韋爾為她寫了長篇悼詞，深情地緬懷她的生活、工作和人格：

她曾經是充滿生命活力的典範，

以她那剛毅的心情和生活的勇氣，

堅定地屹立在我們這個星球上，

所以大家對此毫無思想准備。

她正處於她的數學創造能力的頂峰。

她那深遠的想像力，

同她那長期經驗積累起來的技能，

已經達到完美的平衡。

她熱烈地開始了新問題的研究。而這一切現在突然宣告結束，

她的工作猝然中斷。

墜落到了黑暗的墳墓，

美麗的、仁慈的、善良的，

他們都輕輕地去了；

聰穎、機智的、勇敢的，

他們都平靜地去了；

我知道，但我決不認可，

而且我也不會順從。

我們對她的科學工作與她的人格的記憶決不會很快消逝。她是一位偉大的數學家，而且我堅信，也是歷史曾經產生過的最偉大的女性之一

發展

代數幾何的起源很自然地是從關於平面中的代數曲線的研究開始的。對於一條平面曲線，人們首先注意到的一個數值不變數是它的次數，即定義這條曲線的方程的次數。由於次數為一或二的曲線都是有理曲線（即在代數幾何的意義下同構於直線的曲線），人們今天一般認為，代數幾何的研究是從19世紀上半葉關於三次或更高次的平面曲線的研究開始的（早期人們研究的代數簇都是定義在復數域上的）。例如，N.H.阿貝爾在1827～1829年關於橢圓積分的研究中，發現了橢圓函式的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線（它們都可以表示成平面中的三次曲線）理論基礎。另一方面，C.G.J.雅可比考慮了橢圓積分反函式問題，他的工作是今天代數幾何中許多重要概念的基礎（如曲線的雅可比簇、θ函式等）。

B.黎曼1857年引入並發展了代數函式論，從而使代數曲線的研究獲得了一個關鍵性的突破。黎曼把他的函式定義在復數平面的某種多層復迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。用現代的語言，緊致的黎曼曲面就一一對應於抽象的射影代數曲線。運用這個概念，黎曼定義了代數曲線的一個最重要的數值不變數：虧格。這也是代數幾何歷史上出現的第一個絕對不變數（即不依賴於代數簇在空間中的嵌入的不變數）。黎曼還首次考慮了虧格g 相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，並發現這個參量簇的維數應當是3g-3，雖然黎曼未能嚴格證明它的存在性。

黎曼還套用解析方法證明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,這里D是給定的黎曼曲面上的除子。隨後他的學生G.羅赫在這個不等式中加入一項，使它變成了等式。這個等式就是著名的F.希策布魯赫和A.格羅騰迪克的黎曼-羅赫定理的原始形式（見代數函式域）。 代數幾何 - 內容 在黎曼之後，德國數學家M.諾特等人用幾何方法獲得了代數曲線的許多深刻的性質。諾特還對代數曲面的性質進行了研究。他的成果給以後義大利學派的工作建立了基礎。

從19世紀末開始，出現了以G.卡斯特爾諾沃，F.恩里奎斯和F.塞維里為代表的義大利學派以及以H.龐加萊、(C.-)É.皮卡和S.萊夫謝茨為代表的法國學派。他們對復數域上的低維代數簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認為是代數幾何中最漂亮的理論之一的代數曲面分類理論。但是由於早期的代數幾何研究缺乏一個嚴格的理論基礎，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補。

20世紀以來代數幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎的建立。20世紀30年代，O.扎里斯基和B.L.范·德·瓦爾登等首先在代數幾何研究中引進了交換代數的方法。在此基礎上，A.韋伊在40年代利用抽象代數的方法建立了抽象域上的代數幾何理論，然後通過在抽象域上重建義大利學派的代數對應理論，成功地證明了當k是有限域的時候,關於代數曲線ζ函式具有類似於黎曼猜想的性質。50年代中期，法國數學家J.P.塞爾把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這個為格羅騰迪克隨後建立概型理論奠定了基礎。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概型的概念是代數簇的推廣，它允許點的坐標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中存在冪零元。

概型理論的另一個重要意義是把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以套用代數幾何中大量的概念、方法和結果。這種套用的兩個典型的例子就是：①P.德利涅於1973年把韋伊關於ζ函式的定理推廣到了有限域上的任意代數簇,即證明了著名的韋伊猜想,正是利用了格羅騰迪克的概型理論。②G.法爾廷斯在1983年證明了莫德爾猜想。這個結果的一個直接推論是費馬方程x+y=1在n≥4時最多隻有有限多個非零有理解，從而使費馬猜想的研究獲得了一個重大突破。

在另一方面，20世紀以來復數域上代數幾何中的超越方法也得到了重大的進展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同調理論，W.V.D.霍奇的調和積分論的套用，以及小平邦彥和D.C.斯潘塞的變形理論以及P.格里菲思的一些重要工作等。

周煒良對20世紀前期的代數幾何發展作出了許多重要的貢獻。他建立的周環,周簇,周坐標等概念對代數幾何的許多領域的發展起了重要的作用。他還證明了著名的周定理：若一個緊致復解析流形是射影的，則它必定是代數簇。

20世紀後期，在古典的復數域上低維代數簇的分類理論方面也取得了許多重大進展。在代數曲線的分類方面，由於D.B.芒福德等人的工作，人們現在對代數曲線參量簇 Mg已經有了極其深刻的了解。芒福德在60年代把格羅騰迪克的概型理論用到古典的不變數理論上，從而創立了幾何不變數理論,並用它證明了Mg的存在性以及它的擬射影性。人們已經知道 Mg是一個不可約代數簇，而且當g≥24時是一般型的。目前對Mg的子代數簇的性質也開始有所了解。

代數曲面的分類理論也有很大的進展。例如,60年代中期小平邦彥徹底弄清了橢圓曲面的分類和性質；1976年,丘成桐和宮岡洋一同時證明了一般型代數曲面的一個重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陳數。同時，三維或更高維代數簇的分類問題也開始引起人們越來越大的興趣。

代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯系。除了上面提到的數論之外，還有如解析幾何、微分幾何、交換代數、 代數群、K理論、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。同時，作為一門理論學科，代數幾何的套用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數幾何在控制論中的套用。

近年來，人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中，已廣泛套用代數幾何工具，這預示古老的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。