皮卡存在唯一定理
發布時間: 2025-10-02 08:36:54
⑴ 什麼是皮卡逐步逼近法
我們採用皮卡（Picard）的逐步逼近法來證明這個定理。 為簡單起見，只就區間來討論，對於的討論完全一樣。
現在簡單敘述一下運用逐步逼近法證明定理的主要思想。首先證明求微分方程的初值問題的解等價於求積分方程 的連續解。然後去證明積分方程的解的存在唯一性。
任取一個連續函數代入上面積分方程右端的,就得到函數 ，顯然 也是連續函數， 如果,那末就是積分方程的解。否則,我們又把代入積分方程右端的，得到
，如果，那末就是積分方程的解。否則我們繼續這個步驟。一般地作函數 (3.1.1.4)
這樣就得到連續函數序列：，，…，，…如果，那末就是積分方程的解。如果始終不發生這種情況，我們可以證明上面的函數序列有一個極限函數，即 存在，因而對(3.1.1.4)取極限時，就得到
即，這就是說是積分方程的解。這種一步一步地求出方程的解的方法就稱為逐步逼近法。由(3.1.1.4)確定的函數稱為初值問題(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。在定理的假設條件下，以上的步驟是可以實現的。
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