復變函數皮卡定理

① 開創了動力系統理論，多復變函數論的先驅之一的是哪一科學家

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開創了動力系統理論，多復變函數論的先驅之一的科學家是亨利·龐加萊(Jules Henri Poincaré)，他是法國數學家、天體力學家、數學物理學家、科學哲學家，1854年4月29日生於法國南錫，1912年7月17日卒於巴黎。龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學、天體力學、數學物理、多復變函數論、科學哲學等許多領域。他被公認是19世紀後四分之一和二十世紀初的領袖數學家，是對於數學和它的應用具有全面知識的最後一個人。龐加萊在數學方面的傑出工作對20世紀和當今的數學造成極其深遠的影響，他在天體力學方面的研究是牛頓之後的一座里程碑，他因為對電子理論的研究被公認為相對論的理論先驅。
【研究方向】

龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在函數論方面。他早期的主要工作是創立自守函數理論（1878）。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函數，並發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。
1883年，龐加萊提出了一般的單值化定理（1907年，他和克貝相互獨立地給出完全的證明）。同年，他進而研究一般解析函數論，研究了整函數的虧格及其與泰勒展開的系數或函數絕對值的增長率之間的關系，它同皮卡定理構成後來的整函數及亞純函數理論發展的基礎。他又是多復變函數論的先驅者之一。
龐加萊為了研究行星軌道和衛星軌道的穩定性問題，在1881～1886年發表的四篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點（焦點、鞍點、結點、中心）附近的性態。他提出根據解對極限環（他求出的一種特殊的封閉曲線）的關系，可以判定解的穩定性。
1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立「n體問題」獎，引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個的質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎，還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他又進行了大量天體力學研究，引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。龐加萊這一工作究竟給N體問題的解決以及動力系統的研究帶來巨大而無比深刻的影響：第一，龐加萊證明了對於N體問題在N大於二時，不存在統一的第一積分（uniform first integral）。也就是說即使是一般的三體問題，也不可能通過發現各種不變數最終降低問題的自由度， 把問題化簡成更簡單可以解出來的問題，這打破了當時很多人希望找到三體問題一般的顯式解的幻想。在一百年後學習微分方程課的人大多在第二個星期就從老師那裡知道絕大多數微分方程是沒法找到定量的解的，但一般都能從定性理論中了解更多解的性質，甚至可以通過計算機「看到」解的形狀行為。而在龐加萊的年代，大多數數學家更熱衷於用代數或冪函數方法找到解，使用定性方法和幾何方法來討論微分方程就是起源於龐加萊對於N體問題的研究，這徹底改變人們研究微分方程的基本想法。第二，為了研究N體問題，龐加萊發明了許多全新的數學工具。例如他完整地提出了不變積分（invariant integrals) 的概念，並且使用它證明了著名的回歸定理（recurrence theorem）。另一個例子是他為了研究周期解的行為，引進了第一回歸映象（first return map）的概念，在後來的動力系統理論中被稱為龐加萊映象。還有象特徵指數（characteristic expontents），解對參數的連續依賴性（continuous dependence of solutions with respect to parameters）等等。所有這些都成為了現代微分方程和動力系統理論中的基本概念。第三，龐加萊通過研究所謂的漸近解（asymptotic solutions），同宿軌道 (homoclinic orbits) 和異宿軌道（hetroclinic orbits），發現即使在簡單的三體問題中，在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近，方程的解的狀況會非常復雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終命運。事實上半個世紀後，後來的數學家們發現這種現象在一般動力系統中是常見的，他們把它叫做穩定流形（stable manifold）和不穩定流形（unstable manifold）正態相交（intersects transversally）所引起的同宿糾纏（homoclinic tangle），而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，數學家和物理學家稱之為混沌（chaos）。龐加萊的發現可以說是混沌理論的開創者。
龐加萊還開創了動力系統理論，1895年證明了「龐加萊回歸定理」。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。
龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。他用括去法（sweepingout）證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯運算元的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函數存在性的嚴格證明。他在積分方程中引進復參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。
龐加萊對現代數學最重要的影響是創立組合拓撲學。1892年他發表了第一篇論文，1895～1904年，他在六篇論文中建立了組合拓撲學。他還引進貝蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純復合形、重心重分、對偶復合形、復合形的關聯系數矩陣等工具，藉助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉—龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。
龐加萊的思想預示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在「龐加萊的最後定理」中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。
龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數域上的代數幾何學》一書開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數並證明其分解定理。第一次引進代數中的左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進李代數的包絡代數，並對其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。
龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。早於愛因斯坦，龐加萊在1897年發表了一篇文章「The Relativity of Space」〈空間的相對性〉，其中已有狹義相對論的影子。1898年，龐加萊又發表《時間的測量》一文，提出了光速不變性假設。1902年，龐加萊闡明了相對性原理。1904年，龐加萊將洛倫茲給出的兩個慣性參照系之間的坐標變換關系命名為『洛倫茲變換』。再後來，1905年6月，龐加萊先於愛因斯坦發表了相關論文：《論電子動力學》。[2] 他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群（1904年），第二年愛因斯坦在創立狹義相對論的論文中也得出相同結果。
龐加萊的哲學著作《科學與假設》、《科學的價值》、《科學與方法》也有著重大的影響。他是約定主義哲學的代表人物，認為科學公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進行選擇，但需以實驗事實為依據，避開一切矛盾。在數學上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點，反對無窮集合的概念，贊成潛在的無窮，認為數學最基本的直觀概念是自然數，反對把自然數歸結為集合論。這使他成為直覺主義的先驅者之一。
1905年，匈牙利科學院頒發一項獎金為10000金克朗的鮑爾約獎。這個獎是要獎給在過去25年為數學發展做出過最大貢獻的數學家。由於龐加萊從1879年就開始從事數學研究，並在數學的幾乎整個領域都做出了傑出貢獻，因而此項獎又非他莫屬。
【參考】
http://ke..com/link?url=R31UOn6Umz_kIhZhKt__ICKSfdmZA7l4n-HEZfH-C-KSD--

② 關於復變函數唯一性定理

十一：
（1）在實軸上，lim f(z_n)不存在，而lim z_n=0，所以函數f在z=0點不連續，從而不解析，所以不存在這樣的函數f。
（2）lim z_n=0，lim f(z_n)=0，所以滿足連續性條件，並且必定有f(0)=0。接下來驗證是否可導。如果可導，則必定有
f'(0)=lim （f(z_n)-f(0)）/（z_n-0），而實際上當n為偶數、奇數時，極限值是不同的，所以f'(0)不存在，進而f在z=0點不解析，所以不存在這樣的f。
（3）lim f(z_n)=1，在f(0)=1時滿足連續性條件。其實，令f(z)=1/(1+z)就滿足題目的條件，此時的函數f在z=0處顯然是解析的。

③ 復變函數的留數定理

如圖所示：

④ 求證復變函數里關於本性奇點的一個定理。

參見此書第134~137頁的內容即可。